Método de Runge Kutta

   

           Métodos de Runge-Kutta

Los Runge-Kutta no es sólo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta

El objetivo de los métodos numéricos de runge-kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud más alto que este.

La convergencia lenta del método de Euler y lo restringido de su región de estabilidad absoluta nos lleva a considerar métodos de orden de convergencia mayor. El método de Euler se mueve a lo largo de la tangente de una cierta curva que esta "cerca" a la curva desconocida o buscada. Los métodos Runge-Kutta extienden esta idea geométrica al utilizar varias derivadas o tangentes intermedias, en lugar de solo una, para aproximar la función desconocida. Los métodos Runge-Kutta más simples se obtienen usando dos de estas derivadas intermedias.

Los  métodos de Runge-Kutta mejoran la aproximación del método de Euler para resolver de modo aproximado el P.V.I.  y' = f(t, y),   y(t0) = y0,  sin necesidad de calcular derivadas de orden superior.

Recordemos que, de acuerdo con la teoría, la expresión general de los métodos explícitos de las etapas de Runge Kutta es:

 

       FUNDAMENTO

Al resolver un PVI o un PF, el objetivo es hallar una función y(t) que verifique en [a,b] los requisitos del  problema. Conscientes de la imposibilidad de obtener una fórmula que exprese y(t), nos contentaremos con obtener los valores que la solución toma en algunos puntos de [a,b]; es decir, obtendremos una tabla de valores de y(t) en [a,b]. Esto puede parecer, a primera vista, frustrante, pero para la mayor parte de las necesidades reales es completamente suficiente; pensemos que realmente, incluso para una función expresada mediante una fórmula, un ordenador solo puede dar sus valores en un número finito de puntos, ya que maneja un número limitado de cifras. El valor de la solución en un punto c distinto de los considerados se obtiene mediante interpolación, o resolviendo de nuevo el problema en el intervalo [a,c].

Así, una técnica de solución consiste en dividir el intervalo [a,b] mediante una malla de puntos a = t0 < tl < … < tn = b, llamados puntos soporte, y obtener los valores yi = y(ti), i = 1, 2, …, n, de la solución en los puntos de la malla.

Una manera frecuente y sencilla (no la mejor en todos los casos) de tomar los ti, consiste en dividir el intervalo [a,b] en n partes iguales, siendo n un natural. Así, los puntos son ti = a + ih, i = 0, …, n. Al valor h =(b - a)/n se lo denomina paso de integración. Utilizaremos en lo sucesivo paso constante en todos los casos.

 

 Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:

y_{i + 1} = y_i + φ(x_i,y_i,h)h

Donde φ(xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo.

Donde las a son constantes y las k son:

k₁ = f(x_i,y_i)

k₂ = f(x_i + p₁h,y_i + q₁₁k₁h)

k₃ = f(x_i + p₂h,y_i + q₂₁k₁h + q₂₂k₂h)

Observe que las k son relaciones de recurrencia, esto es, k₁ aparece en la ecuación para k₂, la cual aparece en la ecuación para k₃, etc.

Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n.

n = 1, es el método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la función incremento a los términos en la serie de Taylor

     Condiciones de orden

Los métodos de Runge-Kutta son métodos de un paso con función de incremento

Si hacemos hn = 0, entonces ki = f(xn,yn) para todo   i = 1,2,...,s. Así,

Por tanto, un método de Runge-Kutta es consistente si y solo si

Por otra parte, puesto que las etapas ki son evaluaciones de la función f, no es difícil convencerse de que φ satisface una condición de Lipschitz con respecto a su segunda variable si f satisface una condición de Lipschitz en y. Así pues, la condición de consistencia es suficiente para garantizar la convergencia. Veamos que también es necesaria.