Métodos de Runge-Kutta de 2do. Orden

          Métodos de Runge-Kutta de 2do. Orden

El método de Runge Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler. El método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos.

La expansión en serie de Taylor de una función y(x) alrededor de un punto x=x₀ , truncada en el tercer término, es decir, en la segunda derivada

Esquema de Discretización del Método de Runge-Kutta de orden 2:

 

y_i  es la coordenada “y” del punto anterior

xi  es la coordenada “x” del punto anterior

 F(x_i,y_i)  es la derivada evaluada en el punto anterior

 F(xi+h/2,yi+k₁/2)  es la derivada evaluada en el punto anterior con el cambio de variable

Ecuación diferencial de segundo orden

Vamos a aplicar el procedimiento de Runge-Kutta a una ecuación diferencial de segundo orden.

Una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo esquema.

 

Comparando esta tabla con la de un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, vemos que la segunda columna es la misma, excepto por cambio de nombre de la función, f en vez de g, y de la variable, v en vez de y. En la primera columna, las variables k₁, k₂, k₃, k₄ pueden calcularse directamente sin efectuar llamadas a una función.

  

Sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

Sea el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

 Con las condiciones iniciales

Este sistema, se puede transformar en un sistema equivalente formado por cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden. Aplicando dos veces el esquema descrito para una ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el esquema descrito en las siguientes tablas